AMA 2009 – un point de Lagrange…

AMA, encore un sigle… Année mondiale de l’astronomie, telle qu’a été déclarée 2009 par l’ONU et l’UNESCO. 2005, c’était la physique, en l’honneur du 100° anniversaire des quatre articles d’Einstein (relativité restreinte, E=mc², mouvement brownien, quanta de lumière), 2009 célèbre le 400° anniversaire de la découverte de la lunette astronomique par Galilée. Une révolution aussi, qui allait lui permettre d’observer les satellites de Jupiter (les « astres médicéens ») et les phases de Vénus. Deux observations majeures qui ébranlaient le dogme géocentrique… Meilleurs vœux à tous fidèles lecteurs, que votre soif de connaissances (« libido sciendi ») soit renouvelée en même temps qu’étanchée aux sources que vous trouverez… et commençons par un poncif en ces temps de morosité et de crise : la connaissance n’est-elle pas synonyme de progès pour chacun et pour l’humanité ?


Entamons l’AMA par un billet d’astronomie, découvrons un des points de Lagrange (et son application) : quand un petit corps quitte-t-il l’attraction terrestre pour passer à l’attraction solaire ? D’abord, un point : la question, pourtant intuitive, est mal posée : on ne quitte jamais une attraction ni ne rejoint l’autre, car on est toujours soumis à une attraction, la force de gravitation étant de portée infinie. Par ailleurs, même la Lune, gravitant autour de la Terre, est soumise avec cette dernière à la gravitation solaire. Mais on a du mal à se faire à ces notions, et la question ci-dessus vient spontanément.

Le point de Lagrange est un cas particulier du « problème des trois corps » (l’un des plus difficiles de la mécanique céleste !), traité avec l’approximation m petit devant M, M petit devant M’, d petit devant D ; par exemple m satellite (Lune ou télecscope spatial), M Terre, M’ Soleil.

Le point de Lagrange est la position de m où s’équilibrent la force d’attraction que subit m de la part de la Terre M, la force d’attraction du Soleil M’, et la force centrifuge de rotation de m autour du soleil, cette dernière étant égale à ω²(D-d), ω étant la vitesse angulaire de m :


A droite, on exprime simplement que la Terre tourne à la même vitesse angulaire que le satellite ; en remplaçant ω dans la première formule, la résolution se fait avec un terme de développement en série de premier ordre à gauche, comme d est petit devant D :


Pour le système Terre-Lune perturbé par le Soleil, on trouve une distance d = 1 500 000 km (on vérifie au passage que d est petit devant D, distance Terre-Soleil, environ 1%). Ce « premier point de Lagrange » a une application : c’est là qu’on a mis en 1995 le satellite SoHO d’observation de l’activité solaire. Pourquoi ? Grâce à ce qui précède, il reste sur l’axe Terre-Soleil en permanence : alors qu’il devrait aller plus vite que la Terre car plus proche du Soleil, sa rotation est ralenti  par le champ de gravitation terrestre qui le « ramène » dans l’axe. Ainsi, tourné vers le Soleil pour mieux l’observer, il accompagne la Terre dans son mouvement de révolution autour du Soleil, restant à égale distance d’elle et proche (il ne se met pas à tourner autour du Soleil en s’éloignant de la Terre), ce qui facilite les communications avec le satellite et sa surveillance. Voilà une application du (premier) point de Lagrange !

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