Arc-en-ciel et dérivée – Les indispensables mathématiques et physiques

Je m’intéressais à la mathématique de l’arc-en-ciel (peut-être pour un prochain livre pour l’Année mondiale de l’Astronomie 2009 ?) et j’avais besoin de la dérivée de Arcsin (arcsinus, l’inverse de sinus, si y=sinx, alors x=arcsiny). Eh oui, cela paraît incroyable, mais on a besoin de cela si on veut approfondir le phénomène de l’arc-en ciel ! L’arc-en-ciel, c’est un mirage qu’on observe dans un rideau de pluie ou d’humidité, quand on tourne le dos au soleil, sur une certaine incidence des rayons solaires i qui minimise une fonction f(i) sous contrainte sini=nsinr (loi de réfraction de Descartes, n= 4/3 indice de l’eau)… Et, tout d’un coup, un trou, je n’arrive pas à me rappeler la formule pour la dérivée de l’inverse d’une fonction f. Autrement dit, je connais la dérivée de la fonction sinus, comment obtiens-je la dérivée de la fonction Arcsin?

Je me souviens de (f × g)’, mais pas de (f^–1)’ …

C’est alors que je me rappelle que la dérivée est un opérateur de composition, puisqu’il exprime, en physique, des mouvements infinitésimaux qui peuvent être eux aussi composés:

d f[g(x)] / dx = d f(y)/ dy × dy/dx, où l’on pose y = g(x)

d f[g(x)] / dx = f'(y) × g'(x)

d (f o g) = g’ × (f’ o g), où o est la fonction composée

Voilà la formule que je cherchais ; à partir de ce moment-là c’est plus facile ; on peut aussi en déduire (f^–1)’ mais ce n’est pas nécessaire. J’écris la formule avec g = Arcsin et f = sin :

f o g = Id (Id est la fonction Id(x)=x)
En dérivant et en appliquant la formule:
1 = d(Id) = d (f o g) = Arcsin’ × sin ‘ (Arcsin x) = Arcsin’ × cos (Arcsin x)
Donc la dérivée de Arcsin est Arcsin'(x) = 1/cos (Arcsin x)

Je suis bien avancé, me direz-vous, mais cos (Arcsinx) est un nombre qui possède une propriété :

cos² (Arcsinx) + sin² (Arcsinx) = 1
cos²(Arcsinx) = 1 – x²
(Arcsinx)’ = 1/√(1-x²)

J’aurais pu retrouver cette dérivée facilement sur Internet, mais je me suis dit que les mathématiques, c’était beau, notamment à partir de la physique de l’arc-en-ciel ! Pour la beauté de cette formule, j’ai continué pour retrouver la dérivée la plus simple, celle de l’exponentielle (qui est sa propre dérivée) g = exp , f = Log :

1 = exp’ × Log ‘ (exp)
Or Log’ (y) = 1/y, donc exp’ = 1/(1/exp) = exp.
CQSMCQFD (ce qu’on savait mais ce qu’il fallait démontrer)

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