Densité des nombres premiers: théorème de Tchébycheff (1850)

Le sympathique livre « 250 problèmes de théorie élémentaire des nombres » du mathématicien Wladimir Sierpinski (1882-1970) est paru en 1970 à Varsovie, traduit par P. Mehr en 1972 aux Editions Hachette (préface de Denis Gerll qui fut mon professeur et d’André Warusfel).

En annexe, hors ces 250 problèmes, il nous livre la magnifique démonstration du théorème de Tchébycheff. Il est émis par J. Bertrand comme hypothèse en 1845, et démontré par Tchébycheff (mathématicien russe, 1821-1894) en 1850. Son énoncé est simple :

Pour tout n entier ≥ 2, il existe au moins un nombre premier strictement compris entre n et 2n.

 

Si son énoncé est simple, sa démonstration est loin de l’être, avec 14 lemmes et 6 corollaires, faisant intervenir la décomposition de n! en facteurs premiers, la racine cubique de 4 puissance n,…Citons quelques résultats intermédiaires, ou théorèmes déduits :

1.    Si n ≥ 6, entre n et 2n se trouvent au moins deux nombres premiers distincts.
2.    Si n ≥ 4, entre n et 2(n-1) se trouve au moins un nombre premier.
3.    Dans la décomposition de n! en facteurs premiers se trouve au moins un nombre premier dont l’exposant est 1.
4.    n! ne peut être la puissance d’un entier avec un facteur supérieur à 1.
5.    Si pk est le kème  nombre premier, pk+1 < 2 pk  et pk+2 < pk+1 + pk

On voit donc la richesse de ce théorème d’énoncé simple et intuitif, mais qui a sans doute donné du fil à retordre à des générations de mathématiciens !

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