Le chemin le plus court – un peu de réflexion (3)

Oui c’est vrai ma démonstration (billet 2) à l’énigme (billet 1) est lourde, « cartésienne », j’avais prévenu ! Alors formalisons la démonstration géniale esquissée par Ludovic, Serma et Hervé en commentaires du billet 1, une démonstration « euclidienne » dirons-nous, purement géométrique, avec un joli jeu de miroir. Voilà, figure à l’appui :



Rappelons l’objet : trouver pour le cavalier le chemin le plus court de A à B sachant qu’il doit mener boire sa monture à la rivière (en bleu). Prenons un chemin quelconque ACB (en vert) reliant A et B en passant par la rivière en C. Prenons le symétrique du segment AC par rapport à la rivière : il nous donne A’C, et la distance ACB est égale à la distance A’CB. On constate aisément que la distance A’CB (donc ACB) sera toujours plus grande que la distance A’MB, ligne droite reliant A’ à B, sauf si C est en M. Le plus court chemin après avoir mis le premier segment en miroir est A’MB, donc le plus court chemin avant la mise en miroir est AMB, c’est la réponse cherchée.

Mais tout ceci, Descartes et sa lourde démonstration d’analyse, Euclide et sa légère démonstration de géométrie, n’aident guère notre cavalier, encore moins son cheval : comment sait-il, partant de A, où aller faire boire son cheval ? (attention ce n’est pas une énigme, simplement une constatation désolée).