Le chemin le plus court – un peu de réfraction

Ce premier billet de chemin le plus court posté le vendredi précédent les vacances scolaires parisiennes a déchaîné les discussions, j’en suis heureux, et a conduit aux deux solutions, l’une cartésienne et lourde proposée par moi, l’autre euclidienne et légère proposée par les fidèles lecteurs. Je termine (provisoirement ?) ce cycle de « chemins le plus court » avec celui du maître-nageur, que nous a rappelé Benjamin en commentaire, et que j’avais en tête en entamant ce cycle.


Soit un maître-nageur devant aller sauver une personne en mer ; il court à la vitesse V sur le sable de la plage, il nage à une vitesse v (v < V) dans la mer. Quel chemin doit-il emprunter pour secourir au plus vite la personne ?

Ce chemin n’est pas la ligne droite AB (il court trop peu longtemps et nage trop longtemps), ce n’est pas non plus la ligne ACB où on maximise la distance sur le sable (dans ce cas, la distance totale est trop grande). Ce chemin est entre les deux, c’est le chemin AMB donné par l’angle i tel que sin i = V/v  sin r (de C à la ligne droite, le rapport sin r / sin i varie de 0 à 1, donc on est assuré qu’il prend la valeur v/V, inférieure à 1).


On le démontre facilement avec la démonstration cartésienne lourde; le temps total s’écrit, en reprenant les notations du billet précédent :

T = AM / V + MB / v =  (x² + a²)1/2/ V + [(L-x)² + b²]1/2/ v, en dérivant par rapport à x, le minimum est atteint pour :

x / (V×AM) = (L-x) / (v×MB), ou en d’autres termes OM/ (V × AM) = MC / (v × MB) ; on retrouve une égalité de triangles semblables, à la vitesse près de part et d’autre.

Or sin i = OM / AM, et sin r =  MC / MB, on retrouve sin i  / V = sin r  / v, c’est le principe de Fermat- Descartes de la réfraction, n1 sin i1 = n2 sin i2 (dans notre cas l’inverse des vitesses dans chaque milieu est l’équivalent de l’indice de réfraction, ce qui est cohérent avec vlumière = c / n dans un milieu d’indice n).


Je ne sais pas si on peut arriver à une démonstration géométrique (euclidienne) de cela. Qu’en pensez-vous ?

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