Les nombres formés de 1 sont-ils premiers?

Les nombres formés uniquement de 1 sont-ils premiers ? (évidemment ceux qui sont formés avec un autre chiffre sont non premiers). En 1907, un certain Dudeney dans « The Canterbury puzzles »indique que 11 est premier, mais que les nombres formés de trois à dix-huit chiffres 1 sont non premiers. Il bute sur le nombre formé de dix-neuf chiffres 1, et pour cause puisqu’un de ses lecteurs, Hoppe, démontre que le nombre formé avec dix-neuf 1, soit le nombre 

 1 111 111 111 111 111 111


est premier…Celui formé de vingt-trois chiffres 1 est aussi premier.

On se convaincra facilement que pour qu’un nombre composé de n chiffres 1 soit premier, il faut que n lui-même soit premier. Dans les années 1970, on était allé jusqu’à n = 373 sans trouver d’autre nombre premier au-delà de n = 23. A réactualiser peut-être à notre époque, si vous avez des éléments.

(récréation issue du sympathique livre de l’Association pour le Développement de la Culture scientifique en Picardie, qui a pris contact avec moi suite à mon livre)

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