Les nombres formés de 1 sont-ils premiers?

Les nombres formés uniquement de 1 sont-ils premiers ? (évidemment ceux qui sont formés avec un autre chiffre sont non premiers). En 1907, un certain Dudeney dans “The Canterbury puzzles”indique que 11 est premier, mais que les nombres formés de trois à dix-huit chiffres 1 sont non premiers. Il bute sur le nombre formé de dix-neuf chiffres 1, et pour cause puisqu’un de ses lecteurs, Hoppe, démontre que le nombre formé avec dix-neuf 1, soit le nombre 

 1 111 111 111 111 111 111


est premier…Celui formé de vingt-trois chiffres 1 est aussi premier.

On se convaincra facilement que pour qu’un nombre composé de n chiffres 1 soit premier, il faut que n lui-même soit premier. Dans les années 1970, on était allé jusqu’à n = 373 sans trouver d’autre nombre premier au-delà de n = 23. A réactualiser peut-être à notre époque, si vous avez des éléments.

(récréation issue du sympathique livre de l’Association pour le Développement de la Culture scientifique en Picardie, qui a pris contact avec moi suite à mon livre)

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