Les nombres naturels le sont-ils vraiment ?

Un pavé [un clin d’oeil au pavage de Penrose :)- ] de 800 pages pour ceux qui font de la vulgarisation en mathématiques ou en physique, c’est LE Penrose « A la découverte des lois de l’univers« , qui vient d’être traduit en français. Pas à la portée de tous, mais un outil de base, ou quelques friandises à déguster de temps à autre, c’est selon.

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Dans le chapitre 3, Penrose nous montre en termes simples comment l’on peut construire la suite des nombres dits « naturels » comme une abstraction mathématique totalement indépendante d’une quelconque réalité, simplement en utilisant la théorie des ensembles.

On commence par l’ensemble le plus simple (mais l’est-il réellement ?), l' »ensemble vide« , qui ne contient aucun élément. On le note ainsi : Ø ou { }. Les accolades désignent un « ensemble » : l’ensemble ci-avant ne contient aucun élément entre les accolades, c’est un ensemble « vide », on lui attribue le nombre 0. Nous enfonçons peut-être des portes ouvertes, mais c’est de la définition précise que jaillit l’abstraction…

On définit ensuite l’ensemble suivant : {Ø} ou {{ }}. C’est un ensemble composé d’un élément, et cet élément est l’ensemble précédent. On lui attribue le chiffre 1. [*]

On définit ensuite l’ensemble suivant : {
Ø, {Ø}} ou {{ }, {{ }}}. C’est un ensemble composé de deux éléments, l’esemble vide et l’ensemble précédent. On lui attribue le chiffre 2. [**]

On définit ensuite l’ensemble constitué par l’ensemble vide, l’ensemble défini dans le paragraphe [*], et l’ensemble défini dans le paragraphe [**]. On lui attribue le chiffre 3.

Et ainsi de suite, on a compris.

Ce qui permet à Roger Penrose de conclure :  » Cette méthode a le mérite de nous montrer que des notions telles que les nombres naturels peuvent, littéralement, êtres construites à partir de rien, en utilisant simplement la notion abstraite d’ensemble « .
(dans cette phrase j’aime bien le « littéralement » : il se rapporte à « à partir de rien ». Car c’est en effet à partir de l’ensemble vide – rien – que l’on construit là la suite des nombres naturels)

(voir commentaire ci-dessous sur la typographie)

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