Pentagone et nombre d’or, la divine proportion

Décidément, le pentagone est un objet mathématique intrigant. Après avoir examiné  » Pentagone et ballon de football « , j’ai réfléchi à  » Pentagone et nombre d’or « . On sait que le nombre d’or peut être défini comme  » le partage en moyenne et extrême raison  » d’un segment AB (par le point M tel que MA/MB = AB/MA = Phi , page 38 de mon livre), qui nous conduit à Phi comme racine de l’équation algébrique Phi ² – Phi – 1 = 0.



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Regardons la figure ci-contre, où le pentagone étoilé s’inscrit dans le pentagone convexe, avec diagonale du pentagone convexe = côté du pentagone étoilé. On va s’intéresser donc au rapport AC/AB, mais d’abord intéressons-nous aux trois angles en A. Nous en avons marqué deux en rouge, qui sont égaux par symétrie. Celui en bleu, au milieu, est, pour l’instant, différent. Par construction du pentagone étoilé, on retrouve le même angle rouge en E. Dans le triangle AFE (sommet en F), l’angle en F vaut donc 180° – 2rouges, donc l’angle vert en F vaut 2 rouges. Il en va de même de l’angle vert en G. On a donc 2verts + 1bleu = 180°, soit 4rouges + 1 bleu = 180° (triangle AGF). Or les angles en A forment 108°, donc 2rouges + 1bleu = 108° (pour s’en convaincre, reprenez la construction du pentagone : vous tordez la droite AB vers C d’un certain angle cinq fois de suite pour revenir en A, cet angle dont vos pliez la baguette de bois est ainsi donc de 360°/5 = 72°, et l’angle que vous formé à chaque sommet de vos baguettes à l’intérieur de la figure est 180 – 72 = 108°). On a donc rouge = bleu = 36°, les angles rouge et bleu sont égaux, on pouvait s’en douter, mais on préférait le démontrer.


A partir de là tout va assez vite : l’angle marqué en B est bien vert (puisque c’est la somme du bleu et du rouge, comme en A, il vaut donc 2rouges) ; les triangles ACD, AGF, ABH sont semblables, isocèles. De ACD et ABH semblables on déduit : BH/AB = CD/AC donc égal à AB/AC, donc si l’on cherche le rapport entre la diagonale AC du pentagone et son côté AB : AC/AB = AC/CD = AB/BH = AH/HC (car AB = AH =CD, et BH = HC par symétrie) On a donc le partage en moyenne et extrême raison, ou la divine proportion : H divise le segment AC en moyenne et extrême raison (G aussi) : AH/HC (rapport du grand au petit) = AC/AH (rapport du tout au grand) 
Or ce rapport est comme on sait égal à Phi (simple opération algébrique), ou on peut le retrouver géométriquement comme suit : AC/AB = (AH + HC)/AB = 1 + HC/AB (car AH = AB) = 1 + AG/AB
Or les triangles AGB et ABC sont semblables, donc AG/AB = AB/AC, d’où :
AC/AB = 1 + AB/AC, ce rapport est bien le nombre d’or Phi tel que Phi= 1 + 1/ Phi

On retrouve donc le nombre d’or comme rapport entre la diagonale du pentagone et son côté, e rapport AC/AH, partage en moyenne et et extrême raison de la diagonale.