Précision mathématique ou physique ?

Je lis le remarquable Gaston Bachelard (1884-1962), trop oublié, trop vite balayé par la « sociologie des sciences » (rendez-vous dans une cinquantaine d’années pour savoir qui reste entre Bachelard et la « sociologie des sciences »). Il nous propose (La Formation de l’esprit scientifique. Contribution à une psychanalyse de la connaissance objective, Vrin 1938, constamment réédité depuis) un exercice qu’il donne à ses élèves: 

soit un chêne de 150 cm de diamètre: calculer son périmètre à un centimètre près

A l’heure des calculettes, on ne comprend même plus l’intérêt de réfléchir à pareil exercice. Bachelard nous invite néanmoins à réfléchir, à ce propos, à l’articulation etre précision physique et précision mathématique.

Chene.jpg

19 comments for “Précision mathématique ou physique ?

  1. 8 mai 2011 at 01:25

    Combien de décimales a Pi en physique ?

    Je veux dire : quelle expérience de physique nécessite de connaitre Pi avec le plus de décimales ?

  2. 8 mai 2011 at 03:18

    on multiplie par 22/7 et c’est largement suffisant, ou quelque chose m’échappe ?

  3. 9 mai 2011 at 00:41

    @ A.M : En fait ta méthode revient à multiplier par 157/50, ce qui n’est pas hyper simple mathématiquement. Mais ça a l’air plus simple parce qu’on compte en base 10. L’avantage de 22/7, c’est
    que tu as juste une multiplication par 3 (=21/7), qui donne 450 cm, puis une division pour le 1/7 restant, qui donne 21 au cm près.

  4. Diet
    9 mai 2011 at 08:07

    En plus, comme la section d’un tronc d’arbre n’est jamais un cercle. Il vaut mieux dire 472 cm.

  5. Cherif
    9 mai 2011 at 08:42

    L’exercice est sans intérêt si objectif est le calcul . Mais l’important c’est de retrouver la relation permettant de trouver le résultat connaissant le diamètre

  6. 9 mai 2011 at 04:25

    J’ai posé la question sur le nombre de décimales utiles ici :

    http://physics.stackexchange.com/questions/9621/how-many-digits-of-pi-are-required-in-physics

    et reçu une réponse très intéressante : pour la mesure du http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_magn%C3%A9tique_anomal il faut avoir 9 décimales de Pi …

    Allez sur stackexchange remonter ma réputation svp, 2 personnes ont voté contre moi 🙁

     

  7. vinprudh
    10 mai 2011 at 04:20

    Les maths donnent : Perimetre = Pi * diamètre

    Pour obtenir un résultat physique cohérent avec la mesure du diamètre, il suffit de garder le même nombre de chiffres significatifs (ici 3). On obtient P = 471cm à 1cm près. (si je me souviens on
    peut montrer ce résultat général par du calcul différentiel ).

    En mathématiques, il ne me semble pas que l’on se pose ce genre de questions faisaint intervenir la notion de mesure et de grandeurs mesurables, on travaille avec des nombres…

  8. H
    12 mai 2011 at 03:04

    Je suis un peu surpris de ne pas voir la réponse suivante : la question est mal posée — intentionnellement, bien sûr — et on ne peut faire ce calcul avec la précision requise.

    Primo, la mesure du diamètre : 150 cm, est sans doute donnée « au centimètre près », ce qui, même en supposant la section parfaitement circulaire, interdit de donner une réponse à une précision
    inférieure à 3 cm.

    Secondo… votre photographie est pourtant on ne peut mieux choisie : il est manifeste que le diamètre n’est pas bien défini, la section n’était pas circulaire. Est-ce le plus grand diamètre ? le
    plus petit ? Bref, il s’agit d’une mesure à la grosse mode, et donner quelque chose de plus précis que « 470 cm » (en précisant qu’on est loin de la précision demandée pour la réponse), me paraît
    une erreur.

    Si j’étais le correcteur, vous aviez tous un petit 0 ! 😛

  9. H
    12 mai 2011 at 01:17

    J’ai dû mal m’exprimer. Je ne remets pas vraiment en cause l’énoncé, je veux simplement dire que pour moi la réponse attendue est : « on ne peut pas calculer un périmètre au centimètre près à
    partir d’un diamètre mesuré au centimètre près ; et dans le cas d’un arbre dont la section n’est pas parfaitement circulaire, *le* diamètre n’est pas bien défini et la précision demandée est
    d’autant moins atteignable ».

  10. vinprudh
    13 mai 2011 at 00:45

    Voila un lien qui pourra aider à répondre (notamment en ce qui concerne la précision physique): http://www2.ulg.ac.be/sciences/pedagogique/dossierpds2004/dossier_signif.pdf

    J’ajouterai que l’exemple du chêne est effectivement malheureux car malgré ma réponse précédente (dont je reconnais l’erreur), on ne peut pas parler de diamètre (il suffit de regarder la photo
    por s’en convaincre)  et donc on ne peut pas appliquer la relation P=Pi*d. La méthode de mesure est dans ce cas mauvaise et il faut en changer, par exemple en faisant une mesure directe (on
    fait rouler le chêne et on mesure la trace de la circonférence, etc). Et qui dire si on cherche encore plus de précision, il faudrait aussi considérer les déformations locales du contour, bref,
    le chène n’etait peut etre pas le meilleur exemple pour illustrer la différence entre précision physique et mathématique.

    Un énoncé plus correct aurait peut etre été : soit une roue parfaitement lisse dont le diamètre vaut 150 cm, calculer le périmètre… (on pourrait objecter que meme dans ce cas le diametre peut
    ne pas être parfaitement défini,
    mais alors encore une fois c’est la méthode de mesure qu’il faut ainsi revoir pour eviter de commettre ce qu’on appelle une erreur systématique dans le jargon de la mesure et des incertitudes).

    Si on veut résoudre simplement la précision le cas de la roue supposée parfaitement circulaire:
    On connait la précision sur le diametre qui vaut 0.5 cm (en effet sans autre précision une règle communément admise veut qu’elle vale 1/2 unité du dernier chiffre significatif, soit 0.5cm).
    On applique P=Pi*d. On obtient alors P = (471 plus ou moins 1,6) cm. J’obtiens 1,6 en faisant 0.5 * Pi = 1.5707… que j’arrondi à 1.6 cm. Pour 471, j’applique la règle des chiffres significatifs
    (le resultat d’une multiplication est arrondi à autant de chiffres signifcatifs que la donnée qui en compte le moins, cf doc en lien ci-dessus).

     

  11. H
    14 mai 2011 at 07:06

    Merci à Vinprudh de m’avoir compris !

    AM, je disais bien : intentionnellement mal posé, je supposais qu’il s’agissait d’un « piège », qu’en invitant à réfléchir à la précision nécessaire à un calcul, Bachelard
    invitait à réfléchir à la précision des mesures physiques dont ce calcul dépend. Bref je ne récusais pas l’énoncé !

    Je farfouille depuis hier dans le fratras qui me sert de bibliothèque, je ne retrouve pas mon exemplaire de La formation de l’esprit scientifique. Auriez-vous l’amabilité de nous copier
    le passage afin que nous examinions la réponse suggérée par Bachelard ?

  12. 15 mai 2011 at 01:11

    pondu un article sur l’expérience de physique nécessitant le plus de décimales de pi ici : http://drgoulu.com/2011/05/15/combien-de-decimales-de-pi-en-physique/

    Merci à Alexandre et aux autres commentateurs pour avoir soulevé différents aspects de cette question plus intéressante qu’il n’y paraît de prime abord.

  13. open_riichi
    16 mai 2011 at 09:48

    Bonjour,

    a moins d’une différence entre certaines éditions, votre énoncé n’est pas celui donné par G. Bachelard dans « La Formation de l’Esprit Scientifique ». Le problème posé par Bachelard est plus simple
    que celui que vous annoncez. Je cite la page 214 du livre : 

    « Ainsi, j’ai souvent donné, en vue de l’éducation des saines approximations, le simple problème suivant : calculer à un centimètre près le rayon moyen d’un chêne de 150 centimètres de
    circonférence. ».

    Vous constaterez que le vrai problème posé par Bachelard est plus simple (et plus profond, à mon sens) que celui que vous énoncez. 

  14. C.Bernizet
    18 mai 2011 at 04:55

    En physique, le résultat d’une multiplication ne peut avoir plus de chiffres significatifs que la donnée qui en compte le moins. à partir d’un diamètre de 150cm (3 chiffres significatifs) 
    et voulant ateindre une précision au cm, sachant que le résultat vaudra quelques centaines de cm (3 chiffres significatifs également), il est nécessaire de connaitre pi avec au moins également 3
    chiffres significatifs. Donc 3,14 est une précision suffisante pour atteindre le résultat attendu, c’est à dire un périmètre de 471cm.

    Le problème de Bachelard est plus intéressant : car à partir d’un périmètre de 150cm, le diamètre calculé sera de l’ordre des dizaines de cm et donc 2 chiffres significatifs seront suffisants pou
    pi (3,1), ce qui donne un diametre de 48cm.

    Toute la subtilité est de ne pas confondre nombre de chiffres significatifs et nombre de décimales.

    Enfin pour conclure, tout bon physicien pourrait objeter que si on est face à un arbre dont on  a pu mesurer le diamètre, il est tout aussi simple de mesurer son périmètre et la connaissance
    de pi ne sert à rien ici.

  15. H
    25 mai 2011 at 01:00

    Merci d’avoir mis le texte de Bachelard en ligne, la collision entre les deux questions est intéressante.

     

    Pour les gens que les techniques intéressent, ce que je sais de l’ancien métier de mon papa : quand les forestiers « cubent » (ie estiment le volume d’un arbre sur pied, en vue d’une coupe), ils
    utilisent le diamètre à 1 mètre 50 du sol (de mémoire, en fait en pratique c’est grosso modo à la hauteur des coudes du cubeur) et la hauteur (estimée à l’œil) ; le diamètre est mesuré au «
    compas », en fait une sorte de gros pied à coulisse qui permet une mesure à quelques centimètres près. Voir image http://mfr-foret.com/Compas%20forestier.JPG 

     

    La question de la précision du cubage se pose alors… au vu de la précision des mesures, demander une précision d’un cm³ sur le volume devrait faire bondir toute personne raisonnable !! J’en
    rigole tout seul.

  16. H
    25 mai 2011 at 04:55

     

    Page suivante, Bachelar raille : 

    Le Père Mersenne demande : « je vous prie de me dire combien un homme haut de six pieds ferait plus de chemin avec la tête qu’avec les pieds, s’il faisait le circuit de la Terre ». Étant
    donnée la grossièreté de la connaissance du rayon terrestre, on saisit l’absurdité toute géométrique de la question posée par le Père Mersenne, en dehors de l’insignifiance totale de la
    question.

    Grossière erreur ! 2π(R + ΔR) – 2πR = 2π ΔR ; l’intérêt (le seul intérêt) de ce problème resté classique est justement que la réponse peut être faite sans connaître le rayon terrestre…

     

  17. H
    25 mai 2011 at 04:58

    Je remarque en passant que le but de Bachelard est bien de critiquer les calculs précis faits avec des mesures imprécises (exemple du prix de vente d’un terrain), qui est le travers que je
    dénonçais dans la réponse « 471 cm »… 😉

  18. H
    5 juin 2011 at 02:17

    Je n’ai pas répondu à votre question sur la sociologie des sciences… je n’en pense pas beaucoup de bien non plus 🙂 Je n’ai lu qu’un seul texte vraiment conséquent, un livre d’une biologiste
    américaine reconvertie à l’histoire et la sociologie des sciences, et dont le nom m’échappe ; ça ne m’a pas convaincu.

    À part ça, chaque fois que j’en rencontre des bribes au fil de mes lectures, je m’agace. Voyez mes commentaires à cette note :

    http://www.enroweb.com/blogsciences/index.php?2011/06/02/452-est-ce-la-methode-scientifique-qui-guide-le-travail-du-chercheur&cos=1

    Je reste très mesuré, j’essaie de me comporter en internaute bien éduqué. Sachez qu’intérieurement, je profère pis-que-pendre ! Je trouve terrible qu’au lieu de prendre le temps d’expliquer les
    concepts, notament celui de liaison génétique, d’expliquer ce qu’écrit Mendel, où est son erreur (ou quelle restricition il faudrait y apporter pour que ce n’en soir plus une), d’expliquer les
    travaux de Bateson, bref, d’expliquer pourquoi la seconde loi de Mendel porte son nom et pourquoi elle est généralement fausse, on se contente d’asséner quelques prétendues vérités premières, le
    tout laissant suspecter qu’on est incapable du travail de digestion et vulgarisation dont j’ai tracé les contours ci-dessus.

    Voilà, il fallait que ça soit dit, et ça me fournit l’occasion de vous répondre, d’une pierre, deux coups.

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