Une diagonale fractale

On connaissait l’argument diagonal, permettant de démontrer par l’absurde que le segment [0,1] est non dénombrable (page 30 de mon livre), ou intervenant dans le théorème de Gödel. Voilà une autre diagonale qui va nous donner du fil à retordre.

On prend un carré de côté 1, on divise chaque côté en n segments égaux, ce qui divise le grand carré en n² petits carrés, et on fait croître n vers l’inifini.

La ligne brisée violette, allant du coin A au coin B, est toujours de longueur égale à 2 : en effet, les segments horizontaux sont superposables au segment AC, de longueur 1, et les segments verticaux sont superposables au segment BC, de longueur 1.

Quand n augmente, cette ligne brisée reste de longueur 2, tout en se rapprochant de la diagonale du grand carré qui, elle, est de longueur Racine(2). Si on veut se convaincre que la ligne brisée tend vers la diagonale, il suffit de calculer l’espace entre elles. Cet espace se compose de 2n triangles rectangles isocèles de côté 1/2n ; cette surface vaut donc 2n x 1/8n² = 1/4n elle tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

On a donc le beau paradoxe suivant : la ligne brisée de longueur égale à 2 est, à la limite n tendant vers l’infini, la diagonale de longueur Racine(2) = 1,414 !

Je mets en commentaire un essai d’interprétation de ce paradoxe apparent…il y a de la fractale là-dessous, non ?

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